加权平均值的误差

the error of the weighted mean

Posted by mingjie on December 6, 2019

我受不了了。

究竟加权平均值的误差的表达式应该是什么?这个问题困扰了我很久。今天决定用实验去解决它。

问题

古典描述

我们想测量一个物理量;它有一个真值。我们对它进行次测量,每次测量用下标的来表示,也就是。因为每次测量的环境都不同(仪器温度变了啊、天气变阴了啊、观测助手抖腿了啊、隔壁猫叫了啊、etc),每次测量的误差都不一样。误差是怎么估计的也是一个大问题,但这里就直接给定了。那么当我们用加权平均去估计这个物理量的值的时候,这个估计值的误差是多少?

贝叶斯描述

我们测量一个物理量,测了好多次。每次都有一个测量值以及它的误差。怎么样利用这些测量值和误差给出这个物理量的参数的限制呢?这里没有真值。

古典方法

我不会。但是有些地方给出了结论:

先定义权重:

那么加权平均值就是

  1. Weight sample variance

来自维基百科以及GNU Project

  1. From error propagation

来自STATISTICS AND THE TREATMENT OF EXPERIMENTAL DATA以及维基百科的error of the weighted mean部分。

它们在误差分布比较正常的时候结果是一样的。

贝叶斯方法