我受不了了。
究竟加权平均值的误差的表达式应该是什么？这个问题困扰了我很久。今天决定用实验去解决它。
问题
古典描述
我们想测量一个物理量；它有一个真值\(\hat{x}\)。我们对它进行\(N\)次测量，每次测量用下标的\(i\)来表示，也就是\(x_i\)。因为每次测量的环境都不同（仪器温度变了啊、天气变阴了啊、观测助手抖腿了啊、隔壁猫叫了啊、etc），每次测量的误差\(\sigma_i\)都不一样。误差是怎么估计的也是一个大问题，但这里就直接给定了。那么当我们用加权平均去估计这个物理量的值的时候，这个估计值的误差是多少？
贝叶斯描述
我们测量一个物理量，测了好多次。每次都有一个测量值\(x_i\)以及它的误差\(\sigma_i\)。怎么样利用这些测量值和误差给出这个物理量的参数的限制呢？这里没有真值。
古典方法
我不会。但是有些地方给出了结论：
先定义权重：
\[w_i = \frac{1}{\sigma_i^2}\]那么加权平均值就是
\[\mu = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\]- Weight sample variance
来自维基百科以及GNU Project。
- From error propagation
来自STATISTICS AND THE TREATMENT OF EXPERIMENTAL DATA以及维基百科的error of the weighted mean部分。
它们在误差分布比较正常的时候结果是一样的。
