我们需要光谱仪，没有光谱仪哪来的光谱。低分辨率光谱仪可以得到天体的连续谱（第十章），而高分辨率的光谱仪可以得到天体的谱线（第十二章）。
概述
光谱仪示意图
从望远镜中过来的光在狭缝的中心聚焦，然后被准直器变为平行光照到光栅上面，色散后经过改正镜再被聚焦到CCD上。单色光会在焦面上形成一条线；而因为一般狭缝的宽度都比较大，最终在焦面形成的线宽基本不受光栅衍射条纹的影响。而当复色光入射到光谱仪的时候，焦面上将形成一段连续谱。连续谱中每个颜色的“纯净”程度由$ \Delta \lambda $决定。$ \Delta \lambda $越小，色散程度越大，天文学家们越高兴。不过色散程度也需要和天体入射的光的总量协调，因为色散程度越大每个像素的光流量越小，需要的积分时间就越长。一般来说我们需要$ \Delta \lambda $小于我们关心的光谱结构；第十二章有定量计算。
衍射光栅及其原理
衍射光栅示意图
令$P(0)$所指示的点为相位0点，则在光栅上任一点和它的相位差为$ x \sin{\alpha} $；$ \alpha $为入射平面光法向与光栅法向的夹角，是一个定值。所以我们可以将在光栅上的入射光表达为：
\[F(x, t) = F_0(t)e^{2\pi i\frac{x\sin{\alpha}}{\lambda}} \tag{3.1}\]同时因为入射光的频率很大，积分时间一般又比较长，所以可以将$ F_0(t) $用它的平均值$ F_0 $代替。
令$ G(x) $为光栅，
\[G(x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{狭缝中}\\ 0 & \mathrm{狭缝外} \end{cases}\]在$ \beta $角上看到的光强为$ F(x, t) $与$ G(x) $的乘积加上离开光栅后的相位差在$ x $上的积分：
\[\begin{align} g(\beta) & = \int^{\infty}_{-\infty} F(x, t) e^{2\pi i\frac{x\sin{\beta}}{\lambda}} G(x) dx \\ & = F_0\int^{\infty}_{-\infty} G(x) e^{2\pi i\frac{x\sin{\alpha}+x\sin{\beta}}{\lambda}} dx \end{align}\]令$ \theta = \frac{\theta’}{\lambda} = \frac{\sin{\alpha} + \sin{\beta}}{\lambda} $，有
\[g(\theta) = F_0 \int^{\infty}_{-\infty} G(x) e^{2\pi ix\theta} dx \tag{3.2}\]将这个式子与第二章的傅里叶变换定义式比较，我们发现它们是一样的，所以光栅就相当于一个傅里叶变换器。因为这里$ F_0 $是一个常数，重要的是后面的积分，所以之后我们将直接讨论$ G(x) $的傅里叶变换。
$ G(x) $的傅里叶变换
$ G(x) $是由宽为$ b $的狭缝等距$ d $摆放直至充满宽度$ W $而来的：
\[G(x) = B_1(x) * III(x) B_2(x) \tag{3.3}\]$ B_1(x) $为单个狭缝，它与$ III(x) $的卷积为无限宽的光栅，$ B_2(x) $为光栅的宽度。它的傅里叶变换为：
\[\begin{align} g(\theta) &= b_1(\theta) iii(\theta) * b_2(\theta) \\ & = \frac{b\sin{\pi\theta b}}{\pi\theta b} iii(\theta) * \frac{W\sin{\pi\theta W}}{\pi\theta W} \end{align}\]将Shah函数用$ \delta $函数表达：
\[\begin{align} g(\theta) & = \sum \delta(\theta-\frac{n}{d}) * \frac{W\sin{\pi\theta W}}{\pi\theta W} \frac{b\sin{\pi\theta b}}{\pi\theta b} \\ & = \sum_n \frac{W\sin{\pi(\theta-\frac{n}{d}) W}}{\pi(\theta-\frac{n}{d}) W} \frac{b\sin{\pi\theta b}}{\pi\theta b} \end{align} \tag{3.4}\]
光栅以及它的傅里叶变换
在小角度下$ d\theta’ $和$ d\beta $近似是一样的：
\[\sin{\alpha} + \sin{\beta} = \theta' \Rightarrow d\theta' = \cos{\beta} d\beta \approx d\beta\]每个尖峰下降到0时的宽度由$ B_2(x) $决定：
\[\Delta \theta' = \frac{\lambda}{W}\]每个尖峰的位置由$ III(x) $决定：
\[\theta' = \frac{n\lambda}{d} = \sin{\alpha} + \sin{\beta} \tag{3.5}\]所以不同波长的光有不同的宽度和尖峰位置。这里的$ n $称为级数，0级光谱所有波长的光都集中在$ x=0 $处，所以为白光。1级和其他级光谱的分辨率为：
\[\frac{d\theta'}{d\lambda} = \frac{n}{d} \tag{3.6}\]将$ \Delta \theta’ = \frac{\lambda}{W} $代入$ (3.6) $，得：
\[\Delta \lambda = \frac{\lambda}{W} \frac{d}{n} \tag{3.7}\]这个量可以理解为单位角度上的波长改变量是多少；我们当然希望它越小越好，所以$ n $小的时候要增大板宽和多刻线；$ n $大的时候则不一定。
复色光入射时的情况
闪耀光栅
上图中我们可以看到透射光栅的光谱受到狭缝宽度影响，主要的能量落在了0级处，并没有分开。我们自然不希望这样，而是想让多数的光落在我们想要的级数上。要做到这一点，我们只需要将$ b_2(\theta) $的最高点从0移动到对应的级数位置即可。第二章傅里叶变换的性质2表明如果想在某个域上平移函数，需要在另一个域上引入相位差，在这里也就是不同的光程。实际的操作可以在狭缝中插入三棱镜让光线偏转，但是棱镜会带来色散，而且这样的光栅也很难制作。所以常用的是将狭缝改成倾斜的面镜，从而将光反射到某个特定角度。这样的光栅叫闪耀光栅，光栅法线与槽面法线之间的夹角$ \phi $叫闪耀角(在法线同侧的角度正负号相同)。
闪耀光栅（右）示意图
这个时候式子$ (3.4) $的最后一项发生了变化，$ \alpha, \beta $变成了$ \alpha-\phi, \beta-\phi $。这里用减号的原因是虽然对于槽面来说，图示的$ \phi $角会使得入射角和反射角都增大，但是$ (3.4) $中的$ \alpha, \beta $指的是箭头所指的线段长度，这两段线在反射光栅的情况下都减小了。所以对于归一化的这一项，我们有：
\[I(\beta) = \left[\frac{\sin{\left\{ \pi b/\lambda [\sin{(\alpha-\phi)}+\sin{(\beta-\phi)}]\right\}}}{\pi b/\lambda [\sin{(\alpha-\phi)}+\sin{(\beta-\phi)}]}\right]^2 \tag{3.8}\]因为光栅的分光，只有符合$ (3.5) $的波长的光才能通过，所以我们可以将$ (3.5) $代入$ (3.8) $消去$ \lambda $（注意$ (3.5) $中的$ \alpha, \beta $不变），得到：
\[I(\beta) = \left[\frac{\sin{\left\{ n\pi b/d [\cos{\phi}-\sin{\phi}\frac{\cos{\alpha}+\cos{\beta}}{\sin{\alpha}+\sin{\beta}}]\right\}}}{n\pi b/d [\cos{\phi}-\sin{\phi}\frac{\cos{\alpha}+\cos{\beta}}{\sin{\alpha}+\sin{\beta}}]}\right]^2 \tag{3.8}\]示例图如下：
闪耀光栅的光强包络线，$ \phi=15^\circ $
可以看到这个时候整个函数的最大值被推到了$ \alpha+\beta = 2\phi $的地方。当然我们也可以用$ \lambda $作为自变量，画出$ I(\beta) $随$ \lambda $的变化情况。
利特罗条件
一般来说光栅在制造的时候会被造成当入射角和衍射角一样的时候，1级光谱会被闪耀，这被叫做利特罗条件。但是当入射光线和衍射光线在同一个方向的时候，我们并不能接收到光谱，所以一般使用的是别的入射角；这种情况下1级光谱的闪耀波长会发生变化。假设利特罗条件下的闪耀波长为$ \lambda_0 $，则根据$ (3.5) $有：
\[\frac{n\lambda}{d} = \sin{\alpha} + \sin{\beta}\] \[\begin{align} \frac{n\lambda_0}{d} &= 2\sin{\phi} \\ &= 2\sin{\alpha+\beta} \end{align}\]两式相除，得：
\[\lambda = \lambda_0 \cos{0.5(\alpha-\beta)}\]阴影
光栅的摆放方式有很多种。我们之前讨论的都是入射光线和光栅法线在槽面法线的两侧；当然也可以倒过来摆，将入射光线和光栅法线放在槽面法线的同一侧($ \alpha < \beta $的时候)。不过这样的话会引起一部分的光在反射后照射到槽的侧面，引起光损和杂散光。光损比例由下式决定：
\[f=\frac{2\tan{\phi}\tan{\beta-\phi}}{1+\tan{\phi}\tan{\beta-\phi}}\]如果光谱仪有缺陷
首先有周期性缺陷的光谱仪一般会产生鬼线。这样的光谱仪相当于两个光谱仪的叠加：
\[G'(x) = G(x)H(x)\] \[H(x) = B_3(x) * III(x) B_2(x)\]所以“缺陷光谱仪”会在原来的谱线周围再加上一堆鬼线。如果周期性缺陷相对于原来的光谱的间隔很大，那么鬼线会在母线（原来的谱线）附近。我们可以仿照$ (3.5) $并且代入$ (3.6) $写出鬼线的$ \Delta \lambda $：
\[\Delta \theta_g = \frac{m\lambda_g}{D}\] \[\Delta \lambda_g = \frac{d}{n}\frac{m}{D}\lambda_g\]所以鬼线是等距分布的。鬼线的光强比较复杂，但是一般母线的强度最大。
还有另外的几种因缺陷引起的线，如卫星线（有一块刻歪了）等。
色散和分辨率
分辨率是光谱仪很重要的一个参数。但是在讨论分辨率之前我们需要分清楚它和色散的区别。
角、线色散
如上图，如果两束不同波长的光射入镜头的角度为$ \Delta \beta $，则称它们的角色散为$ \Delta \beta $。角色散的大小是由光栅决定的，具体来说是$ (3.6) $式。这个角度最终在焦平面上投影的长度叫做线色散，易得：
\[\Delta x = f_\mathrm{cam} \Delta \beta\]或者
\[\frac{d\beta}{dx} = \frac{1}{f_\mathrm{cam}}\]将角度转化成波长，有：
\[\begin{align} \frac{d\lambda}{dx} &= \frac{d\lambda}{d\beta} \frac{d\beta}{dx} \\ &= \frac{1}{f_\mathrm{cam}} \frac{1}{d\beta/d\lambda} \\ &= \frac{1}{f_\mathrm{cam}} \frac{d\cos{\beta}}{n} \tag{3.13} \end{align}\]这里没有小角度入射的假设，所以有一个$ \cos{\beta} $在。同样，高的色散程度对应着小的$ \frac{d\lambda}{dx} $。
分辨率
我们从狭缝的大小开始考虑。令$ f_\mathrm{coll}, f_\mathrm{cam} $为准直器、成像相机的焦距，在小角度情况下，宽度为$ W’ $的狭缝在准直器（或者光栅）上的角度为：
\[\Delta \alpha = \frac{W'}{f_\mathrm{coll}}\]对$ (3.5) $式求导，得出：
\[\Delta\beta = -\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}} \Delta \alpha\]所以
\[\Delta \beta = -\frac{\cos{\alpha}W'}{\cos{\beta}f_\mathrm{coll}}\]令$ w $为狭缝在CCD上的像宽，则
\[\begin{align} w &= \Delta \beta f_\mathrm{cam} \\ &= -\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}} \frac{f_\mathrm{cam}}{f_\mathrm{coll}} W' \tag{3.14} \end{align}\]$ {w/W’} $正比于$ f_\mathrm{cam}/f_\mathrm{coll} $。一般来说我们需要CCD的像素与狭缝在CCD上的像宽相匹配，最好是1个单位像宽对应CCD上的两个像素（奈奎斯特频率）。稍微的过采样可能会有好处，但是面临着更长时间曝光和深度减小的问题；而欠采样会使得信息丢失。
我们也可以将像宽$ w $转换成单位长度上的波长改变量（分辨率）：
\[\begin{align} \Delta \lambda &= w \frac{d\lambda}{dx} \\ &= -\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}} \frac{f_\mathrm{cam}}{f_\mathrm{coll}} W' \frac{1}{f_\mathrm{cam}} \frac{d\cos{\beta}}{n} \\ &= -\cos{\alpha} \frac{W'd}{f_\mathrm{coll}n} \tag{3.15}\end{align}\]可以看出分辨率与成像相机的焦距没有关系。提升分辨率可以通过改变上式的参数，但是一般会导致光损(减小$ W’ $)或者需要更大/更好的光栅(增大$ f_\mathrm{coll} $或者$ n $)。
阶梯光谱仪
通过增大$ n $来提高分辨率实际上没那么简单。使用高级数光谱的时候，虽然光谱的确被色散到了更宽的角度上（当然传统上这意味着需要更长的CCD），但是不同级数的光谱会发生重叠，使得不同（但是分立）波长的光同时照到了一个像素上。
高级数光谱重叠情况；选择的当的话黑色虚线中间可以包含了整个波长范围的光
那么如果我们截取某一段区域，使得这段区域几个级数的光谱加起来刚好覆盖我们想要的波长，然后在后面加上一个在另一个方向上色散的光栅，就可以把光谱分成独立的条状并且覆盖很宽的波长范围；这就是阶梯光谱仪。
阶梯光谱仪示意图
阶梯光谱仪的一个例子是京都产业大学制造的WINERED：
图中下方从右到左为狭缝、准直镜以及阶梯光栅，中间的白色部分为CCD。这个光谱仪波长虽然在近红外($0.90-1.35 \mu \mathrm{m}$)，但是除了CCD部分之外都在常温下工作，不需要冷却；同时在分辨率、波长覆盖和灵敏度上都有不错的数值。
WINERED与其他光谱仪参数对比
略过的内容
多目标光谱仪、迈克尔逊干涉仪、望远镜基础
